Главная / Содержания / Теорема о параллельном переносе силы. приведение системы сил к одному центру. частные случаи приведения. условия равновесия. Приведение плоской системы сил к простейшему виду Приведение к паре

Теорема о параллельном переносе силы. приведение системы сил к одному центру. частные случаи приведения. условия равновесия. Приведение плоской системы сил к простейшему виду Приведение к паре

Рассмотрим некоторые частные случаи предыдущей теоремы.

1. Если для данной системы силR = 0, M 0 = 0, то она находится в равновесии.

2. Если для данной системы силR = 0, M 0  0, то она приводится к одной паре с моментом M 0 = m 0 (F i). В этом случае величина M 0 не зависит от выбора центра О.

3. Если для данной системы силR  0, то она приводится к одной равнодействующей, причем если R  0 и M 0 = 0, то система заменяется одной силой, т.е. равнодействующей R, проходящей через центр О; в случае если R  0 и M 0  0, то система заменяется одной силой, проходящей через некоторую точку С, причем ОС = d(OCR) и d = |M 0 |/R.

Таким образом, плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда R  0) или к одной паре (когда R = 0).

Пример 2. К диску приложены силы:

(рис. 3.16) привести эту систему сил к простейшему виду.

Решение: выберем систему координат Оху. За центр приведения выберем точку О. Главный векторR:

R x = F ix = -F 1 cos30 0 – F 2 cos30 0 +F 4 cos45 0 = 0; Рис. 3.16

R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 – F 3 + F 4 cos45 0 = 0. Поэтому R = 0.

Главный момент системы М 0:

М 0: = m 0 (F i) = F 3 *a – F 4 *a*sin45 0 = 0, где а – радиус диска.

Ответ: R = 0; М 0 = 0; тело находится в равновесии.

Привести к простейшему виду систему силF 1 , F 2 , F 3, изображенную на рисунке (рис. 3.17). Силы F 1 и F 2 направлены по противоположным сторонам, а сила F 3 – по диагонали прямоугольника ABCD, сторона AD которого равна a. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

Решение: направим оси координат так, как это показано на рисунке. Определим проекции всех сил на оси координат:

Модуль главного вектора R равен:
;
.

Направляющие косинусы будут:
;
.

Отсюда: (х,R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .

Определим главный момент системы сил относительно центра приведения А. Тогда

m A = m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

Учитывая, чтоm A (F 1) = m A (F 3) = 0, так как направление сил проходит через точку А, тогда

m A = m A (F 2) = F*a.

Таким образом система сил приведена к силе R и паре сил с моментом m A , направленном против часовой стрелки (рис. 3.18).

Ответ: R = 2F; (х,^ R) = 150 0 ; (y,^ R) = 60 0 ; m A = F*a.

Вопросы для самоконтроля

Что такое момент силы относительно центра?

Что такое пара сил?

Приведение произвольной плоской системы сил к данному центру?

Сложение параллельных сил?

Литература: , , .

Лекция 4. Условия равновесия произвольной плоской системы сил

Основная форма условий равновесия. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

F ix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

Вторая форма условий равновесия: Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно каких-либо двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; F ix = 0.

Третья форма условий равновесия (уравнение трех моментов): Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

Пример 1. Определить реакции заделки консольной балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, одной сосредоточенной силы и двух пар сил (рис. 4.1); интенсивность нагрузкиq = 3*10 4 H/м; F = 4*10 4 H; m 1 = 2*10 4 H*м; m 2 = 3*10 4 H*м. BN = 3м; NC = 3м; CA = 4м.

Решение:

По принципу освобождаемости от связей заменим связи соответствующими реакциями. При жесткой заделке в стене возникает сила реакцииR A неизвестного направления и неизвестным моментом m А (рис. 4.2). Распределенную нагрузку заменим эквивалентной сосредоточенной силой Q, приложенной в точке К (ВК = 1,5м). Выберем систему координат ВХУ и составим условия равновесия балки в основной форме:

проекции сил на ось Х: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

проекции сил на ось Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

сумма моментов:m A (F) = m 1 – m 2 + m A + Q*KA + F”*CA = 0 (3)

СилуF разложим в точке С на две взаимно перпендикулярные составляющие F” и F’; сила F’ момента относительно точки А не создает, так как линия действия силы проходит через точку А. Модуль силы F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

Подставляя численные значения в уравнения (1), (2) и (3), получим:

Вданной системе трех уравнений имеются три неизвестные, поэтому система имеет решение и притом только единственное.

4*10 4 *0,7 = R Ax R Ax = 2.8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0.7 + R Ay = 0 R Ay = 11.8*10 4 H

m A – 10 4 + 3*10 4 *3*8.5 + 4*10 4 *2.8 = 0 m A = - 86.8*10 4 H*м

Ответ: R Ax = 2.8*10 4 H; R Ay = 11.8*10 4 H; m A = - 86.8*10 4 H*м.

Пример 2. Определить реакции опор А, В, С и шарнира D составной балки (рис. 4.3).

q = 1,75*10 4 H/м; F = 6*10 4 H; P = 5*10 4 H.

Решение: По принципу освобождаемости от связей заменим связи соответствующими реакциями.

Распределенную нагрузкуq заменим эквивалентной сосредоточенной силой Q = q*KA, приложенной в точке М (АМ = 2м). Количество неизвестных сил реакции: R Ax , R Ay , R B , R C и две пары составляющих сил реакции в шарнире D.

Рассмотрим отдельно реакции в шарниреD. Для этого рассмотрим отдельно балки AD и DE (рис. 4.5а, 4.5б).

По третьему закону Ньютона в шарниреD на балку KD действует система сил R Dx и R Dy , а на балку DE система сил противоположная: R’ Dx и R’ Dy , причем модули сил попарно равны, т.е. R Dx = R Dx и R Dy = R Dy . Это внутренние силы составной балки, поэтому количество неизвестных сил реакции составляет шесть. Для их определения надо составить шесть независимых уравнений состояний равновесия. Возможны следующие варианты составления уравнений состояния.

Составляем условия равновесия для всей конструкции (3 уравнения) и для отдельного элемента этой конструкции: балки KD или балки DE. При составлении уравнений равновесия для всей конструкции внутренние силы не учитываются, так как при суммировании они взаимно уничтожаются.

Уравнения условия равновесия для всей конструкции:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay – Fsin60 0 + R B + R C – P = 0

m A (F) = Q*m A – Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC – P*AE = 0

Уравнения условия равновесия для элемента DE:

R’ Dy , + R C – P*DE = 0

M D (F) = R C *DC – P*DE = 0

Таким образом составлено шесть независимых уравнений с шестью неизвестными, поэтому система уравнений имеет решение и причем только единственное. Решая систему уравнений определим неизвестные силы реакции.

Как выше было доказано, произвольная система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к одной силе, равной главному вектору системы и приложенной в произвольном центре приведенияО , и одной паре с моментом , равным главному моменту системы относительно того же центра. По

этому в дальнейшем произвольную систему сил можно заменять эквивалентной ей совокупностью двух векторов - силы и момента, приложенных в точкеО . При изменении положения центра приведения О главный вектор будет сохранять величину и направление, а главный моментбудет изменяться. Докажем, что если главный вектор и главный момент отличны от нуля и взаимно перпендикулярны, то система сил приводится к одной силе, которую в этом случае будем называть равнодействующей (рис.8). Главный моментможно представить парой сил ( ,) с плечом , тогда силыи главный век торобразуют систему двух сил эквивалентную нулю, которую можно отбросить. Останется одна сила, действующая вдоль прямой, параллельной главному вектору и проходящей на расстоянииh =от плоскости, образуемой векторамии. Рассмотренный случай показывает, что если с самого начала выбрать центр приведения на прямой L, то систему сил сразу бы привели к равнодействующей, главный момент был бы равен нулю. Теперь докажем, что если главный вектор отличен от нуля и не перпендикулярен к главному моменту, то за центр приведения может быть выбрана такая точка О *, что главный момент относительно этой точки и главный вектор расположатся на одной прямой. Для доказательства разложим момент на две составляющие- одну, направленную вдоль главного вектора, и другую- перпендикулярную к главному вектору. Тем самым пара силраскладывается на две пары с моментами:и, причем плоскость первой пары перпендикулярна к, тогда плоскость второй пары, перпендикулярная к вектору(рис 9) содержит вектор. Совокупность пары с моментоми силыобразует систему сил, которая может быть сведена к одной силе (рис.8) , проходящей через точку О* . Таким образом (рис 9), совокупность главного вектораи главного моментав точкеО сведена к силе , проходящей через точкуО* , и паре с моментом параллельным этой прямой , что и требовалось доказать. Совокупность силы и пары, плоскость которой перпендикулярна к линии действия силы, называется динамой (рис.10). Пару сил можно представить двумя равными по величине силами (,), расположенными как показано на рис 10. Но, сложив две силыи, получим их суммуи оставшуюся силу, откуда следует (рис.10), что совокупность главного вектораи главного моментав точкеО , может быть сведена к двум непересекающимся силам и.

Рассмотрим некоторые случаи приведения системы сил.

1. Плоская система сил. Пусть для определённости все силы находятся в плоскости OXY . Тогда в самом общем случае

Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, действительно

следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: плоская система сил приводится к равнодействующей.

2. Система параллельных сил. Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ . Тогда в самом общем случае

Здесь также главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, а их скалярное произведение равно нулю, действительно

следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: система параллельных сил приводится к равнодействующей. В частном случае, если равна нулю, то и главный вектор сил равен нулю, и система сил приводится к паре сил, вектор момента которой находится в плоскостиOXY . Систематизируем теперь рассмотренные случаи. Напомним: произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу, статически эквивалентна силе, равной главному вектору, приложенной в произвольной точке тела (центре приведения), и паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно указанного центра приведения.

1) Пусть =0,≠0. Это случай, когда система сил приводится к одной силе, которую будем называть равнодействующей системы сил. Примером такой системы сил можно считать сходящуюся систему сил, для которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке.

2) ≠0,=0 . Система сил эквивалентна паре сил.

3) ≠0,≠0, но. Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, т.е. главный вектор и главный момент ортогональны. Любая система векторов, у которой главный вектор и главный момент не равны нулю и они перпендикулярны, эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через точкуО* (рис 8). Примером такой системы сил можно считать плоскую систему сил или систему параллельных сил.

4) ≠0,≠0, и главный вектор и главный момент неортогональны. В этом случае система сил приводится к динаме или к двум непересекающимся силам.

Статика твердого тела:
Пространственная система сил
§ 7. Приведение системы сил к простейшему виду

Задачи на тему

7.1 К вершинам куба приложены по направлениям ребер силы, как указано на рисунке. Каким условиям должны удовлетворять модули сил F1, F2, F3, F4, F5 и F6, чтобы они находились в равновесии?
РЕШЕНИЕ

7.2 По трем непересекающимся и непараллельным ребрам прямоугольного параллелепипеда действуют три равные по модулю силы P. Какое соотношение должно существовать между ребрами a, b и c, чтобы эта система приводилась к одной равнодействующей?
РЕШЕНИЕ

7.3 К четырем вершинам A, H, B и D куба приложены четыре равные по модулю силы: P1=P2=P3=P4=P, причем сила P1 направлена по AC, P2 по HF, P3 по BE и P4 по DG. Привести эту систему к простейшему виду.
РЕШЕНИЕ

7.4 К правильному тетраэдру ABCD, ребра которого равны a, приложены силы: F1 по ребру AB, F2 по ребру CD и F3 в точке E середине ребра BD. Величины сил F1 и F2 какие угодно, а проекции силы F3 на оси x, y и z равны +F25√3/6; -F2/2; -F2√(2/3). Приводится ли эта система сил к одной равнодействующей? Если приводится, то найти координаты x и z точки пересечения линии действия равнодействующей с плоскостью Oxz.
РЕШЕНИЕ

7.5 К вершинам куба, ребра которого имеют длину 5 см, приложены, как указано на рисунке, шесть равных по модулю сил, по 2 Н каждая. Привести эту систему к простейшему виду.
РЕШЕНИЕ

7.6 Систему сил: P1=8 Н, направленную по Oz, и P2=12 Н, направленную параллельно Oy, как указано на рисунке, где OA=1,3 м, привести к каноническому виду, определив величину главного вектора V всех этих сил и величину их главного момента M относительно произвольной точки, взятой на центральной винтовой оси. Найти углы α, β и γ, составляемые центральной винтовой осью с координатными осями, а также координаты x и y точки встречи ее с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ

7.7 Три силы P1, P2 и P3 лежат в координатных плоскостях и параллельны осям координат, но могут быть направлены как в ту, так и в другую сторону. Точки их приложения A, B и C находятся на заданных расстояниях a, b и c от начала координат. Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы они приводились к одной равнодействующей? Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы существовала центральная винтовая ось, проходящая через начало координат?
РЕШЕНИЕ

7.8 К правильному тетраэдру ABCD с ребрами, равными a, приложена сила F1 по ребру AB и сила F2 по ребру CD. Найти координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ

7.9 По ребрам куба, равным a, действуют двенадцать равных по модулю сил P, как указано на рисунке. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ

7.10 По ребрам прямоугольного параллелепипеда, соответственно равным 10 м, 4 м и 5 м, действуют шесть сил, указанных на рисунке: P1=4 Н, P2=6 Н, P3=3 Н, P4=2 Н, P5=6 Н, P6=8 Н. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ

7.11 Равнодействующие P=8000 кН и F=5200 кН сил давления воды на плотину приложены в средней вертикальной плоскости перпендикулярно соответствующим граням на расстоянии H=4 м и h=2,4 м от основания. Сила веса G1=12000 кН прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила веса G2=6000 кН треугольной части на расстоянии одной трети длины нижнего основания треугольного сечения от вертикальной грани этого сечения. Ширина плотины в основании b=10 м, в верхней части a=5 м; tg α=5/12. Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина.
РЕШЕНИЕ

7.12 Вес радиомачты с бетонным основанием G=140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F=20 кН и равнодействующая сил давления ветра P=50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях; H=15 м, h=6 м. Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.

Случаи приведения к простейшему виду

Приведение к паре

Пусть в результате приведения сил к центру О оказалось, что главный вектор равен нулю, а главный момент отличен от нуля: . Тогда в силу основной теоремы статики можем написать

Это означает, что исходная система сил в этом случае эквивалентна паре сил с моментом .

Момент пары не зависит от того, какая точка выбрана в качестве центра моментов при вычислении момента пары. Следовательно, в данном случае главный момент не должен зависеть от выбора центра приведения. Но именно к этому выводу и приводит соотношение

связывающее главные моменты относительно двух различных центров. При добавочный член также равен нулю, и мы получаем

Приведение к равнодействующей

Пусть теперь главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю: . В силу основной теоремы статики имеем

то есть система сил оказывается эквивалентной одной силе - главному вектору. Следовательно, в этом случае исходная система сил приводится к равнодействующей, и эта равнодействующая совпадает с главным вектором, приложенным в центре приведения: .

Система сил приводится к равнодействующей и в том случае, когда главный вектор и главный момент оба не равны нулю, но взаимно перпендикулярны: . Доказательство осуществляется при помощи следующей последовательности действий.

Через центр приведения О проводим плоскость, перпендикулярную главному моменту (рис. 50, а). На рисунке эта плоскость совмещена с плоскостью чертежа, в ней же расположен главный вектор . В этой плоскости строим пару с моментом , причем силы пары выберем равными по модулю главному вектору ; тогда плечо пары будет равно . Далее переместим пару в ее плоскости таким образом, чтобы одна из сил пары оказалась приложенной в центре приведения О противоположно главному ; вторая сила пары будет приложена в точке С, отстоящей от центра О в нужную сторону, определяемую направлением , на расстоянии ОС, равном плечу пары h (рис. 50, б). Отбрасывая теперь уравновешенные силы R и - , приложенные в точке О, приходим к одной силе , приложенной в точке С (рис. 50, в). Она и будет служить равнодействующей данной системы сил .

Видно, что равйодействующая по-прежнему равна главному вектору , однако отличается от главного вектора своей точкой приложения. Если главный вектор приложен в центре приведения О, то равнодействующая - в точке С, положение которой требует специального определения. Геометрический способ нахождения точки С виден из проделанного выше построения.

Для момента равнодействующей относительно центра приведения О можно написать (см. рис. 50):

или, опуская промежуточные значения:

Если спроектировать это векторное равенство на какую-либо ось , проходящую через точку О, получаем соответствующее равенство в проекциях:

Вспоминая, что проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, является моментом силы относительно оси, перепишем этой равенство так:

Полученные равенства выражают теорему Вариньона в ее общем виде (в лекции 2 теорема была сформулирована только для сходящихся сил): если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей (относительно точки, относительно оси) равен сумме моментов всех заданных сил - составляющих (относительно той же точки, той же оси). Понятно, что в случае точки суммирование моментов векторное, в случае оси - алгебраическое.

Приведение к динаме

Динамой или динамическим винтом называется совокупность пары сил и силы, направленной перпендикулярно плоскости действия пары. Можно показать, что в общем случае приведения, когда и не перпендикулярен , исходная система сил эквивалентна некоторой динаме.

Теорема (о параллельном переносе силы в любую точку). Силу, приложенную к ATT, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно переносить параллельно ей самой в любую точку ATT, прибавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда она переносится.

Доказательство. Пусть на ATT действует сила F, приложенная в точке А. По аксиоме 2 статики в любой точке тела мы можем приложить уравновешенную систему сил F, F ", например в точке В (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Пусть F"= F. Тогда полученную систему из трех сил можно рассматривать как систему, состоящую из силы F" и добавленной пары сил F", F с моментом т = m B {F). ?

Приведем еще две теоремы, которые могут быть полезны при решении задач. Первая из них - это теорема Эйлера - Сомова.

Теорема. Произвольная пространственная система сил, действующая на ATT, может быть приведена к двум силам (кресту сил), одна из которых приложена в произвольно выбранной точке А ТТ.

Вторая - теорема Вариньона для произвольной плоской системы сил, которая является частным случаем теоремы Эйлера - Сомова.

Теорема. Произвольная плоская система сил эквивалентна системе двух сил, лежащих в этой плоскости.

? Приведение системы сил к одному центру Теорема (основная теорема статики). Действие любой произвольной системы сил на А ТТ эквивалентно действию в произвольной точке А этого ATT главного вектора 1 F этой системы сил и пары сил с моментом М А, который равен главному моменту системы сил относительно центра приведения А 2 .

Доказательство. Пусть на ATT действует произвольная система сил F { _ n . Выберем произвольно точку А тела в качестве центра приведения (рис. 4.2) и перенесем в эту точку все силы согласно теореме о параллельном переносе силы.

Рис. 4.2. К основной теореме статики: приведение к простейшему виду произвольной системы сил

При таком переносе в точке А будут приложены две группы векторов:

1) векторы сил F{_ n = F x _ n и 2) векторы добавленных моментов #и ЛО б,1 = m A (F\_„). ССС F x "_ n можно заменить равнодействующей F = ^Fj, а система пар эквивалентна одной паре с моментом

м л = !

В частном случае расположения всех сил в одной плоскости - плоская система сил - система сил сводится к главному вектору и скалярному главному моменту (так как направление вектора главного момента известно, он перпендикулярен плоскости расположения сил).

Сила F, равная геометрической/векторной сумме всех сил системы, называется главным вектором системы сил.

Момент М А, равный геометрической/векторной сумме моментов всех сил относительно центра А, называется главным моментом системы сил.

Таким образом, механическое действие любой пространственной системы сил на ATT характеризуется двумя обобщенными парамет-

1 Определение главного вектора и главного момента системы сил см. ниже в этой главе.
2 При этом F не зависит от выбора центра Л (другими словами, главный вектор системы сил является инвариантом системы сил), а значения М А в общем случае зависит от положения центра приведения (другими словами, главный момент системы сил не является инвариантом системы сил).

рами: главным вектором и главным моментом. Определение этих величин можно выполнить либо геометрическим построением, либо числовыми расчетами по формулам:

Если надо найти углы, то вычисляются направляющие косинусы главных векторов:

? Частные случаи приведения систем сил

Эти случаи формально связаны с равенством нулю значений главных векторов системы сил.

I случай. Приведение произвольной плоской системы сил:

1) F= О, М Л - 0 - система сил находится в равновесии;
2) F - О, М А Ф М А,
3) FФ О, М А - 0 - система сил приводится к одному главному вектору (приложенному в центре приведения А), который в данном случае является равнодействующей силой;
4) F Ф О, М А Ф 0 - система сил приводится к одной силе - главному вектору системы сил, приложенному в точке В (рис. 4.3), которая в данном случае является равнодействующей силой.

Рис. 4.3.

На рис. 4.3 расстояние ЛВ = d, являющееся плечом силы, вычисляется из условия М А - F ? d.

II случай. Приведение произвольной пространственной системы сил:

1)F= О, М А = 0 - система сил находится в равновесии;
2) F= О, М А Ф 0 - система сил сводится к одной паре с моментом М А, величина которого не зависит от выбора центра приведения;
3) FФ О, М А = 0 - система сил сводится к одной равнодействующей F
4)
Гф О, М А Ф 0:
- а) F А. М А - система сил приводится к одной равнодействующей, которая приложена в точке В такой, что ЛВ = d = MJF (см. рис. 4.3);
- б) F М А - система сил (рис. 4.4) в данном случае называется динамическим/силовым винтом, или просто динамой. Прямая, вдоль которой направлен главный вектор, называется осью динамы, или центральной осью системы сил.

Рис. 4.4.

Под действием такой системы сил свободное тело совершает винтовое движение. При аналитическом задании ось динамы, проходящей через полюс А, имеет уравнения:

где - параметр динамы, имеющий размерность длины.

Действительно, пусть М 0 = ^Г(#;. х/с) - главный момент системы сил F i с равнодействующей F(X, У, Z) = относительно центра О и М А = ^(я, х/Д - главный момент той же системы сил при приведении к центру А (рис. 4.5, а). Так как /*, = ОА + я, то М Л = М 0 - ОА х ^F i = М 0 - ОА х F. Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точки А записывается следующим образом: pF = М А, где р - параметр винта, имеющий размерность длины. Откуда имеем

и, приравнивая коэффициенты при ортах слева и справа, получим искомое уравнение центральной оси динамы;

Рис. 4.5, а. К выводу уравнения центральной оси динамы

в) если главный вектор и главный момент образуют между собой угол ф, отличный от нуля и л/2, то система сил приводится к динаме F, М р ось которой проходит через точку В такую, что AB=MJF{ рис. 4.5,б).

Рис. 4.5, б. Произвольное расположение главного вектора системы сил и главного момента

Как видим, элементами динамы являются главный вектор F системы сил и момент динамы М р М А на направление главного вектора, т.е. = М А соБф.

Откуда имеем

Основными статическими инвариантами 1 системы сил являются главный вектор Ри момент динамы, равный проекции главного момента М А на направление главного вектора. Для вектора F это утверждение очевидно. Для момента динамы можно заметить, что М А = М 1{ + М ± , откуда M A F= M l{ F+ M L F, или M A F = М п F.

Поскольку вектор /’постоянен, отсюда следует, что и проекция главного момента на его направление тоже постоянна.

? Условия равновесия

Системы сил по геометрическим признакам делятся на следующие виды:

1) система сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке;
2) произвольная плоская система сил, т.е. сил, линии действия которых расположены в одной плоскости;
3) система параллельных сил - плоская и пространственная, т.е. сил, линии действия которых параллельны;
4) произвольная пространственная система сил.

Если на Л ТТ действует кроме системы сил также система моментов, то можно каждый момент этой системы представить в виде пары сил и, таким образом, свести систему моментов к системе сил.

Основное условие равновесия статики (в векторной форме):

Для равновесия Л ТТ под действием пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил относительно любого центра приведения были равны нулю 1:

Проецируя эти два векторных уравнения на координатные оси выбранной СО, получим шесть скалярных уравнений, или аналитическую форму условий равновесия:

Таким образом, для равновесия ATT под действием пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю.

Эти же условия можно сформулировать в геометрической форме: для равновесия ATT под действием пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник и многоугольник моментов были замкнутыми.

Условия равновесия, выраженные в аналитической форме (4.1а), часто называют также уравнениями равновесия. Если число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то задача является статически неопределенной. Как видим, в общем случае задача на равновесие тела может иметь шесть неизвестных величин.

Совет! Для получения наиболее простых уравнений равновесия {каждое из которых содержит минимальное число неизвестных ) можно координатные оси проводить перпендикулярно наибольшему числу неизвестных сил, а в качестве центра приведения выбирать точки на пересечении линий действия наибольшего числа неизвестных сил.

? Частные случаи условий равновесия
1. Система сходящихся сил с центром сил в точке А. Условие равновесия для нее в векторной форме сводится к одному уравнению

1а. Пространственная система сходящихся сил. Уравнения равновесия для такой системы в аналитической форме примут вид:

16. Плоская система сходящихся сил. Уравнения равновесия для такой системы в аналитической форме, считая, что силы расположены в плоскости, параллельной плоскости Оху, примут вид:

2. Плоская система сил с силами, расположенными в плоскости Оху:

Для статической определенности в этом случае число неизвестных не должно превышать трех. Эти же уравнения можно дать в других, эквивалентных аналитических формах:

где прямая ВС не перпендикулярна оси Ох.

Еще одна форма условий равновесия:

где А, В, С не лежат на одной прямой и принадлежат плоскости Оху.

3. Параллельные системы сил:

За. Параллельные системы сил в пространстве, считая их расположенными параллельно оси Оу. Тогда из шести уравнений (4.1а) первое, третье и шестое обратятся в тождество (независимо от того, находится данная система сил в равновесии или нет):

36. Параллельные системы сил на плоскости, считая их расположенными в одной плоскости Оху параллельно оси Оу:

или в другой форме:

4. Для произвольной пространственной системы сил условие равновесия уже было показано ранее в данной главе - это основное условие равновесия статики (4.1).

Пример 1 (приведение системы сил к простейшему виду). Определить главный вектор R* и главный момент М 0 заданной системы сил Р х, Р 2 , Р 2 , Р 4 относительно центра О и установить, к какому простейшему виду приводится эта система. Размеры параллелепипеда (рис. 4.6), а также модули и направления сил указаны в таблице.

При выполнении задания необходимо сделать следующее:

1) изобразить заданную систему сил, выполнив построение параллелепипеда в масштабе, показав угол хОу на чертеже равным 135°; сокращение размеров по оси Ох принять равным 1:2;
2) выбрав систему координатных осей, определить модуль и направление главного вектора заданной системы сил по его проекциям на координатные оси и изобразить R* на чертеже;

Рис. 4.6. К примеру 1: исходный параллелепипед

3) вычислить главный момент заданной системы сил относительно центра О по его проекциям на координатные оси и изобразить М 0 на чертеже;
4) вычислить наименьший главный момент заданной системы сил;
5) на основании результатов вычислений главного вектора и наименьшего главного момента М* установить, к какому простейшему виду приводится заданная система сил. При этом необходимо сделать следующее:
- а) если заданная система сил приводится к паре сил, то показать момент этой пары, приложив его к точке О;
6) если заданная система сил приводится к равнодействующей, то найти уравнения линии действия равнодействующей, определить точки пересечения этой линией координатных плоскостей и изобразить на чертеже;
в) если заданная система сил приводится к динаме (силовому винту), то найти уравнения центральной оси, определить точки пересечения этой осью координатных плоскостей и изобразить /?* иМ*на чертеже.

Решение. 1. Определение главного вектора заданной системы сил. Заданная система сил показана на рис. 4.7.

Рис. 4.7. К примеру 1: приложенная система сил Предварительно определяем

В данном случае cos а = 0,6 и sin а = 0,8.

Проекции главного вектора на оси координат:

Модуль главного вектора Направляющие косинусы:

В соответствии с исходными данными получаем Х= 10,6 Н, У= 10,0 Н; Z= -12,8 Н; R* = 19,4 Н; cos(R, i) = 0,547, cos(R, j) = 0,515, cos(R, k) = = -0,660.

Главный вектор показан на рис. 4.8.

Рис. 4.8.

2. Определение главного момента заданной системы сил относительно центра О.

Главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей:

Модуль главного момента:

Направляющие косинусы:

В результате вычислений имеем: М х = -200 Н см; М = 384 Н см; М, = -200 Н см; cos(М 0 , i ) = -0,419; cos(M 0 ,j) = 0,805; cos(M 0 , к) - - -0,419.

Главный момент показан на рис. 4.8.

3. Вычисление наименьшего главного момента заданной системы сил :

По этой формуле получаем: ЛГ = 221 Н см.

4. Так как R* Ф 0 и Л/* * 0, то заданная система сил приводится к динаме {силовому винту).

Уравнение центральной оси таково:

Из этих трех уравнений независимыми являются только два. Подставляя в два из этих уравнений найденные числовые значения величин, находим:

Значения координат точек пересечения центральной осью координатных плоскостей, определенные с помощью этих уравнений, приведены в таблице.

	Координаты,см

Центральная ось системы показана на рис. 4.8.

Примечание. Если силы приводятся к равнодействующей, т.е. R* ф 0 и М" = 0, то уравнения линии действия равнодействующей:

где X, У, Z - проекции равнодействующей силы на координатные оси; М х, М у, М. - главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей. Из этих трех уравнений независимыми являются только два.