Угловой коэффициент равен 0. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. уравнение прямой, проходящей через две данные точки

В предыдущей главе было показано, что, выбрав определенную систему координат на плоскости, мы можем геометрическое свойства, характеризующее точки рассматриваемой линии, выразить аналитически уравнением между текущими координатами. Таким образом, мы получим уравнение линии. В этой главе будут рассматриваться уравнения прямых линий.

Чтобы составить уравнение прямой в декартовых координатах, нужно каким-то образом задать условия, определяющие положение ее относительно координатных осей.

Предварительно мы введем понятие об угловом коэффициенте прямой, который является одной из величин, характеризующих положение прямой на плоскости.

Назовем углом наклона прямой к оси Ох тот угол, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол будем рассматривать с учетом знака (знак определяется направлением поворота: против или по часовой стрелке). Так как добавочный поворот оси Ох на угол в 180° снова совместит ее с прямой, то угол наклона прямой к оси может быть выбран не однозначно (с точностью до слагаемого, кратного ).

Тангенс этого угла определяется однозначно (так как изменение угла на не меняет его тангенса).

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент характеризует направление прямой (мы здесь не различаем двух взаимно противоположных направлений прямой). Если угловой коэффициент прямой равен нулю, то прямая параллельна оси абсцисс. При положительном угловом коэффициенте угол наклона прямой к оси Ох будет острым (мы рассматриваем здесь наименьшее положительное значение угла наклона) (рис. 39); при этом чем больше угловой коэффициент, тем больше угол ее наклона к оси Ох. Если угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона прямой к оси Ох будет тупым (рис. 40). Заметим, что прямая, перпендикулярная к оси Ох, не имеет углового коэффициента (тангенс угла не существует).

Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.

• Прочитайте статью .
• Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано . Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.

Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.

Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} . Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:

В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f"(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:

Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.

• Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).

Пусть на плоскости, где имеется прямоугольная декартова система координат, прямая l проходит через точку М 0 параллельно направляющему вектору а (рис. 96).

Если прямая l пересекает ось Ох (в точке N), то под углом прямой l с осью Ох будем понимать угол α, на который необходимо повернуть ось Ох вокруг точки N в направлении, обратном вращению часовой стрелки, чтобы ось Ох совпала с прямой l . (Имеется в виду угол, меньший 180°.)

Этот угол называют углом наклона прямой. Если прямая l параллельна оси Ох , то угол наклона принимается равным нулю (рис. 97).

Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и обычно обозначается буквой k :

tg α = k . (1)

Если α = 0, то и k = 0; это означает, что прямая параллельна оси Ох и ее угловой коэффициент равен нулю.

Если α = 90°, то k = tg α не имеет смысла: это означает, что прямая, перпендикулярная оси Ох (т. е. параллельная оси Оу ), не имеет углового коэффициента.

Угловой коэффициент прямой можно вычислить, если известны координаты двух каких-либо точек этой прямой. Пусть даны две точки прямой: M 1 (x 1 ; у 1) и M 2 (x 2 ; у 2) и пусть, например, 0 < α < 90°, а x 2 > x 1 , у 2 > у 1 (рис. 98).

Тогда из прямоугольного треугольника M 1 РM 2 находим

$$ k=tga = \frac{|M_2 P|}{|M_1 P|} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

$$ k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \;\; (2)$$

Аналогично доказывается, что формула (2) верна и в случае 90° < α < 180°.

Формула (2) теряет смысл, если x 2 - x 1 = 0, т. е. если прямая l параллельна оси Оу . Для таких прямых угловой коэффициент не существует.

Задача 1. Определить угловой коэффициент примой, проходящей через точки

M 1 (3; -5) и М 2 (5; -7).

Подставляя координаты точек M 1 и М 2 в формулу (2), получим

\(k=\frac{-7-(-5)}{5-3} \) или k = -1

Задача 2. Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M 1 (3; 5) и M 2 (3; -2).

Так как x 2 - x 1 = 0, то равенство (2) теряет смысл. Для этой прямой угловой коэффициент не существует. Прямая M 1 M 2 параллельна оси Оу .

Задача 3. Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и точку M 1 (3; -5)

В этом случае точка M 2 совпадает с началом координат. Применяя формулу (2), получим

$$ k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{0-(-5)}{0-3}= -\frac{5}{3}; \;\; k= -\frac{5}{3} $$

Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку

M 1 (x 1 ; у 1). По формуле (2) угловой коэффициент прямой находится по координатам двух ее точек. В нашем случае точка M 1 задана, а в качестве второй точки можно взять любую точку М(х; у ) искомой прямой.

Если точка М лежит на прямой, которая проходит через точку M 1 и имеет угловой коэффициент k , то в силу формулы (2) имеем

$$ \frac{y-y_1}{x-x_1}=k \;\; (3) $$

Если же точка М не лежит на прямой, то равенство (3) не выполняется. Следовательно, равенствo (3) и есть уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (x 1 ; у 1) с угловым коэффициентом k ; это уравнение обычно записывают в виде

y - y 1 = k (x - x 1). (4)

Если прямая пересекает ось Оу в некоторой точке (0; b ), то уравнение (4) принимает вид

у - b = k (х - 0),

y = kx + b . (5)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.

Задача 4. Найти угол наклона прямой √3 х + 3у - 7 = 0.

Приведем данное уравнение к виду

$$ y= =\frac{1}{\sqrt3}x + \frac{7}{3} $$

Следовательно, k = tg α = - 1 / √ 3 , откуда α = 150°

Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; -4), с угловым коэффициентом k = 2 / 5

Подставив k = 2 / 5 , x 1 = 3, y 1 = - 4 в уравнение (4), получим

у - (- 4) = 2 / 5 (х - 3) или 2х - 5у - 26 = 0.

Задача 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q (-3; 4) и составляющей с положительным направлением оси Ох угол 30°.

Если α = 30°, то k = tg 30° = √ 3 / 3 . Подставив в уравнение (4) значения x 1 , y 1 и k , получим

у -4 = √ 3 / 3 (x + 3) или √3 x -3y + 12 + 3√3 = 0.

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.

Определение 1

Угол наклона прямой к оси О х, расположенный в декартовой системе координат О х у на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления О х к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна О х или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0 . Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [ 0 , π) .

Определение 2

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k . Из определения получим, что k = t g α . Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Решение

Из условия имеем, что α = 120 ° . По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k = t g α = 120 = - 3 .

Ответ: k = - 3 .

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k > 0 , тогда угол прямой острый и находится по формуле α = a r c t g k . Если k < 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Пример 2

Определить угол наклона заданной прямой к О х при угловом коэффициенте равном 3 .

Решение

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к О х меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Ответ: α = a r c t g 3 .

Пример 3

Найти угол наклона прямой к оси О х, если угловой коэффициент = - 1 3 .

Решение

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k , тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению О х. Отсюда k = - 1 3 < 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Ответ: 5 π 6 .

Уравнение вида y = k · x + b , где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси О у.

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y = k · x + b . В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M 1 (x 1 , y 1) , в уравнение y = k · x + b , тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Пример 4

Задана прямая с угловым коэффициентом y = 1 3 x - 1 . Вычислить, принадлежат ли точки M 1 (3 , 0) и M 2 (2 , - 2) заданной прямой.

Решение

Необходимо подставить координаты точки M 1 (3 , 0) в заданное уравнение, тогда получим 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M 2 (2 , - 2) , тогда получим неверное равенство вида - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Можно сделать вывод, что точка М 2 не принадлежит прямой.

Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y = k · x + b , проходящим через M 1 (0 , b) , при подстановке получили равенство вида b = k · 0 + b ⇔ b = b . Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0 , b . Она образует угол α с положительным направлением оси О х, где k = t g α .

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y = 3 · x - 1 . Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0 , - 1 с наклоном в α = a r c t g 3 = π 3 радиан по положительному направлению оси О х. Отсюда видно, что коэффициент равен 3 .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M 1 (x 1 , y 1) .

Равенство y 1 = k · x + b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M 1 (x 1 , y 1) . Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y - y 1 = k · (x - x 1) . Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M 1 (x 1 , y 1) .

Пример 5

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М 1 с координатами (4 , - 1) , с угловым коэффициентом равным - 2 .

Решение

По условию имеем, что x 1 = 4 , y 1 = - 1 , k = - 2 . Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Ответ: y = - 2 x + 7 .

Пример 6

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М 1 с координатами (3 , 5) , параллельную прямой y = 2 x - 2 .

Решение

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y = 2 x - 2 , отсюда следует, что k = 2 . Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 · (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Ответ: y = 2 x - 1 .

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x - x 1 a x = y - y 1 a y . Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Пример 7

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y = - 3 x + 12 к каноническому виду.

Решение

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Ответ: x 1 = y - 12 - 3 .

Общее уравнение прямой проще всего получить из y = k · x + b , но для этого необходимо произвести преобразования: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0 . Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Пример 8

Дано уравнение прямой вида y = 1 7 x - 2 . Выяснить, является ли вектор с координатами a → = (- 1 , 7) нормальным вектором прямой?

Решение

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n → = 1 7 , - 1 , отсюда 1 7 x - y - 2 = 0 . Понятно, что вектор a → = (- 1 , 7) коллинеарен вектору n → = 1 7 , - 1 , так как имеем справедливое соотношение a → = - 7 · n → . Отсюда следует, что исходный вектор a → = - 1 , 7 - нормальный вектор прямой 1 7 x - y - 2 = 0 , значит, считается нормальным вектором для прямой y = 1 7 x - 2 .

Ответ: Является

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения A x + B y + C = 0 , где B ≠ 0 , к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется - A B .

Пример 9

Задано уравнение прямой вида 2 3 x - 4 y + 1 = 0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Решение

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Ответ: y = 1 6 x + 1 4 .

Аналогичным образом решается уравнение вида x a + y b = 1 , которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x - x 1 a x = y - y 1 a y . Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b .

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Пример 10

Имеется прямая, заданная уравнением x 2 + y - 3 = 1 . Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Решение.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на - 3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Ответ: y = 3 2 x - 3 .

Пример 11

Уравнение прямой вида x - 2 2 = y + 1 5 привести к виду с угловым коэффициентом.

Решение

Необходимо выражение x - 2 2 = y + 1 5 вычислить как пропорцию. Получим, что 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Ответ: y = 5 2 x - 6 .

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 12

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Решение

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y , чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2 . Это записывается как k = 2 .

Ответ: k = 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На рисунке показан угол наклона прямой и указано значение углового коэффициента при различных вариантах расположения прямой относительно прямоугольной системы координат.

Нахождение углового коэффициента прямой при известном угле наклона к оси Ox не представляет никаких сложностей. Для этого достаточно вспомнить определение углового коэффициента и вычислить тангенс угла наклона.

Пример.

Найдите угловой коэффициент прямой, если угол ее наклона к оси абсцисс равен .

Решение.

По условию . Тогда по определению углового коэффициента прямой вычисляем .

Ответ:

Задача нахождения угла наклона прямой к оси абсцисс при известном угловом коэффициенте немного сложнее. Здесь необходимо учитывать знак углового коэффициента. При угол наклона прямой является острым и находится как . При угол наклона прямой является тупым и его можно определить по формуле .

Пример.

Определите угол наклона прямой к оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен 3 .

Решение.

Так как по условию угловой коэффициент положителен, то угол наклона прямой к оси Ox острый. Его вычисляем по формуле .

Ответ:

Пример.

Угловой коэффициент прямой равен . Определите угол наклона прямой к оси Ox .

Решение.

Обозначим k – угловой коэффициент прямой, - угол наклона этой прямой к положительному направлению оси Ox . Так как , то используем формулу для нахождения угла наклона прямой следующего вида . Подставляем в нее данные из условия: .

Ответ:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Давайте разберемся со смыслом фразы: «прямая на плоскости в фиксированной системе координат задана уравнением с угловым коэффициентом вида ». Это означает, что уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точкек плоскости. Таким образом, если при подстановке координат точки получается верное равенство, то прямая проходит через эту точку. В противном случае точка не лежит на прямой.

Пример.

Прямая задана уравнением с угловым коэффициентом . Принадлежат ли точки и этой прямой?

Решение.

Подставим координаты точки в исходное уравнение прямой с угловым коэффициентом: . Мы получили верное равенство, следовательно, точка М 1 лежит на прямой.

При подстановке координат точки получаем неверное равенство: . Таким образом, точка М 2 не лежит на прямой.

Ответ:

Точка М 1 принадлежит прямой, М 2 – не принадлежит.

Следует отметить, что прямая, определенная уравнением прямой с угловым коэффициентом , проходит через точку , так как при подстановке ее координат в уравнение мы получаем верное равенство: .

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом определяет на плоскости прямую, проходящую через точку и образующую угол с положительным направлением оси абсцисс, причем .

В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением прямой с угловым коэффициентом вида . Эта прямая проходит через точку и имеет наклон радиан (60 градусов) к положительному направлению оси Ox . Ее угловой коэффициент равен .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку.

Сейчас решим очень важную задачу: получим уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящую через точку .

Так как прямая проходит через точку , то справедливо равенство . Число b нам неизвестно. Чтобы избавиться от него, вычтем из левой и правой частей уравнения прямой с угловым коэффициентом соответственно левую и правую части последнего равенства. При этом получим . Это равенство представляет собой уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k , которая проходит через заданную точку .

Рассмотрим пример.

Пример.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку , угловой коэффициент этой прямой равен -2 .

Решение.

Из условия имеем . Тогда уравнение прямой с угловым коэффициентом примет вид .

Ответ:

Пример.

Напишите уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку и угол наклона к положительному направлению оси Ox равен .

Решение.

Сначала вычислим угловой коэффициент прямой, уравнение которой мы ищем (такую задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи). По определению . Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы записать уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Ответ:

Пример.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящую через точку параллельно прямой .

Решение.

Очевидно, что углы наклона параллельных прямых к оси Ox совпадают (при необходимости смотрите статью параллельность прямых), следовательно, угловые коэффициенты у параллельных прямых равны. Тогда угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам нужно получить, равен 2 , так как угловой коэффициент прямой равен 2 . Теперь мы можем составить требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Ответ:

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения прямой и обратно.

При всей привычности уравнение прямой с угловым коэффициентом далеко не всегда удобно использовать при решении задач. В некоторых случаях задачи проще решаются, когда уравнение прямой представлено в другом виде. К примеру, уравнение прямой с угловым коэффициентом не позволяет сразу записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора прямой . Поэтому следует научиться переходить от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения этой прямой.

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом легко получить каноническое уравнение прямой на плоскости вида . Для этого из правой части уравнения переносим слагаемое b в левую часть с противоположным знаком, затем делим обе части полученного равенства на угловой коэффициент k : . Эти действия приводят нас от уравнения прямой с угловым коэффициентом к каноническому уравнению прямой.

Пример.

Приведите уравнение прямой с угловым коэффициентом к каноническому виду.

Решение.

Выполним необходимые преобразования: .

Ответ:

Пример.

Прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом . Является ли вектор нормальным вектором этой прямой?

Решение.

Для решения этой задачи перейдем от уравнения прямой с угловым коэффициентом к общему уравнению этой прямой: . Нам известно, что коэффициенты перед переменными x и y в общем уравнении прямой являются соответствующими координатами нормального вектора этой прямой, то есть, - нормальный вектор прямой . Очевидно, что вектор коллинеарен вектору , так как справедливо соотношение (при необходимости смотрите статью ). Таким образом, исходный вектор также является нормальным вектором прямой , а, следовательно, является нормальным вектором и исходной прямой .

Ответ:

Да, является.

А сейчас будем решать обратную задачу – задачу приведения уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

От общего уравнения прямой вида , в котором , очень легко перейти к уравнению с угловым коэффициентом. Для этого нужно общее уравнение прямой разрешить относительно y . При этом получаем . Полученное равенство представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным .